การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์

การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ ถือว่าเป็นหัวใจสำคัญในการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เป็นการฝึกทักษะกระบวนการให้เหตุผลเชิงคณิตศาสตร์ โดยการนำกฎเกณฑ์เบื้องต้นในวิชาตรรกศาสตร์ มาประยุกต์ใช้ เพื่อเป็นรากฐานสำหรับแขนงวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูงต่อไป

จุดมุ่งหมายโดยรวมของการพิสูจน์ ก็คือ เป็นการยืนยันหรือทำให้แน่ใจว่า ผลสรุปเป็นจริง โดยมีการกำหนดเงื่อนไข หรือ สมมติฐานมาก่อนหน้า

สาระสำคัญ การพิสูจน์ (proof ) ก็คือการแสดงการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผล ซึ่งการอ้างเหตุผลจากเหตุ ถ้า ( P₁ÙP₂ ÙP₃ Ù…ÙP_n) --> q เป็นสัจนิรันดร์ จะกล่าวได้ว่า การอ้างเหตุผลดังกล่าวสมเหตุสมผล กล่าวคือ P₁ÙP₂ ÙP₃ Ù…ÙP_nสามารถสรุปได้ผล q เมื่อประพจน์ ( P₁ÙP₂ ÙP₃ Ù…ÙP_n) --> q เป็นสัจนิรันดร์ และการที่ทราบว่าประพจน์ใดสมมูลกันจะเป็นประโยชน์ต่อการอ้างเหตุผลอย่างสมเหตุสมผล สำหรับการพิสูจน์ในทางคณิตศาสตร์นั้นเหตุที่นำมาอ้างอิงมาจากทฤษฎีบทที่เคยทราบมาก่อน หรือบทนิยาม หรือสัจพจน์ เป็นต้น แต่มักจะมีปัญหาว่าสัจพจน์ บทนิยาม หรือทฤษฎีบทต่างๆ ที่จะนำมาอ้างอิงเพื่อนำไปสู่ผลสรุปนั้นมีมากมาย เป็นการยากที่จะเลือกใช้ ดังนั้นผู้เรียนควรจะศึกษาตรรกศาสตร์ และการพิสูจน์หลายๆ แบบ เพื่อจะช่วยให้มีทักษะในการพิสูจน์ สามารถเลือกวิธีการพิสูจน์ได้อย่างเหมาะสม ซึ่งจะกล่าวถึงวิธีการพิสูจน์แบบต่างๆ ดังต่อไปนี้

1. การพิสูจน์ p --> q โดยวิธีพิสูจน์ตรง (Direct Proof)

2. การพิสูจน์ ~q --> ~p โดยใช้การแย้งสลับที่ (Contrapositive )

3. การพิสูจน์ p <--> (If and only if)

4. การพิสูจน์โดยแจงกรณี (Proof by Exhaustion)

5. การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง (Proof by Contradiction)

6. การพิสูจน์ p หรือ q

7. การพิสูจน์ p --> (q Ù r )

8. การพิสูจน์แย้งโดยตัวอย่างค้าน (Disproof by Counterexample)

9. การพิสูจน์ว่ามีและเป็นไปได้เพียงอย่างเดียว (Proof by Existence and Uniqueness)

10. การพิสูจน์โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Proof by Mathematical Induction)

รูปแบบการพิสูจน์

แบบที่ 1 การพิสูจน์ p --> q โดยวิธีพิสูจน์ตรง (Direct Proof)

สาระสำคัญ

การพิสูจน์ p --> q โดยวิธีพิสูจน์ตรง เป็นการพิสูจน์ที่เริ่มจากการสมมติให้เหตุ (p) เป็นจริง แล้วดำเนินการจากเหตุ โดยใช้บทนิยาม สัจพจน์หรือทฤษฎีบทต่างๆ เพื่อให้ผล (q) เป็นจริง

ในการพิสูจน์ว่า p --> q โดยวิธีพิสูจน์ตรง ว่าเป็นจริงนั้น เนื่องจาก p --> q มีโอกาสเป็นเท็จกรณีเดียวคือเมื่อ p เป็นจริงและ q เป็นเท็จ ฉะนั้นถ้าสามารถแสดงได้ว่า เมื่อใดก็ตามที่ p เป็นจริง qจะต้องเป็นจริงเสมอ ก็สามารถสรุปได้ว่า p --> q เป็นจริง ดังนั้นจึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า p --> q เป็นจริง โดยสมมติว่า p เป็นจริง แล้วพยายามแสดงให้เห็นว่า q เป็นจริง หรือทำให้เกิด q นั่นเอง

การพิสูจน์วิธีนี้มีรูปแบบหรือโครงสร้างหลักดังนี้

รูปแบบ สมมติ p

ดังนั้น q

ตัวอย่างที่ 1 กำหนด a เป็นจำนวนเต็มใดๆ จงพิสูจน์ว่า ถ้า a เป็นจำนวนคู่ แล้ว a+4 เป็นจำนวนคู่ พิสูจน์ กำหนด เป็นจำนวนเต็มใดๆ

ให้ a เป็นจำนวนคู่ จะได้ a = 2k ;

พิจารณา a + 4 = 2k + 4

= 2(k + 2)

เพราะว่า 𝑘 ∈ 𝐼 ดังนั้น k + 2 ∈ 𝐼 ทำให้ a + 4 เป็นจำนวนคู่

ดังนั้น ถ้า a เป็นจำนวนคู่ แล้ว a + 4 เป็นจำนวนคู่

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มใดๆ จงพิสูจน์ว่า ถ้า a เป็นจำนวนคู่ และ b เป็น จำนวนคี่ แล้ว a + b เป็นจำนวนคี่

พิสูจน์ กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มใดๆ

ให้ a เป็นจำนวนคู่ จะได้ว่า a = 2m ; ∃𝑚 ∈ 𝐼

และให้ b เป็นจำนวนคี่ จะได้ว่า b = 2n+1; ∃𝑛∈𝐼

พิจารณา a + b = 2m + 2n + 1

= 2(m + n) +1

เพราะว่า 𝑚 ∈ 𝐼 และ 𝑛 ∈ ดังนั้น 𝑚+𝑛 ∈ 𝐼 ทำให้ a + b เป็นจำนวนคี่

ดังนั้น ถ้า a เป็นจำนวนคู่ และ b เป็นจำนวนคี่ แล้ว a + b เป็นจำนวนคี่ เป็นจริง

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ a,b และ c เป็นจำนวนเต็มใดๆ จงพิสูจน์ว่า ถ้า a|b และ b|c แล้ว a|c

พิสูจน์ กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มใดๆ

ให้ a|b จะได้ว่า b = am ; ∃𝑚 ∈ 𝐼

และให้ b|c จะได้ว่า c = bn ; ∃n ∈ 𝐼

พิจารณา c = ( am )n

= a( mn )

เพราะว่า 𝑚 ∈ 𝐼 และ n ∈ 𝐼 ดังนั้น 𝑚n ∈ 𝐼 ทำให้ a|c

ดังนั้น ถ้า a|b และ b|c แล้ว a|c เป็นจริง

แบบทดสอบ

กำหนดให้ a เป็นจำนวนเต็ม จงพิสูจน์ว่า ถ้า a เป็นจำนวนคู่ แล้ว a² เป็นจำนวนเต็มคู่

Sol………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………

เฉลยแบบทดสอบ

พิสูจน์ กำหนด a เป็นจำนวนเต็มใดๆ

ให้ a เป็นจำนวนคู่ จะได้ a = 2n ; ∃n ∈𝐼

พิจารณา a² = (2n)²

= 4n²

= 2(2n²)

เพราะว่า n ∈ 𝐼 ดังนั้น 2n² ∈ 𝐼 ทำให้ a² เป็นจำนวนเต็มคู่

ดังนั้น ถ้า a เป็นจำนวนคู่ แล้ว a² เป็นจำนวนเต็มคู่ เป็นจริง

แบบที่ 2 การพิสูจน์ ~q --> ~p โดยใช้การแย้งสลับที่ (Contrapositive)

สาระสำคัญ

เพราะว่า p --> q สมมูลกับ ~q --> ~p

ดังนั้นเราจึงพิสูจน์ ~q --> ~p แทน p --> q ได้

ในบางครั้งการพิสูจน์ ~q --> ~p ง่ายกว่าการพิสูจน์ p --> q โดยการพิสูจน์ตรง

การพิสูจน์วิธีนี้มีรูปแบบหรือโครงสร้างหลักดังนี้

รูปแบบ สมมติ ~q

ดังนั้น ~p

นั่นคือ ~q --> ~p ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า p --> q

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ a เป็นจำนวนเต็มใด ๆ จงพิสูจน์ว่า ถ้า a² เป็นจำนวนคี่ แล้ว a เป็นจำนวนคี่

พิสูจน์ ให้ p แทนข้อความ a² เป็นจำนวนคี่

q แทนข้อความ a เป็นจำนวนคี่

ดังนั้นประพจน์ที่แทนข้อความที่กำหนดให้ คือ p --> q ซึ่งสมมูลกับ ~q --> ~p

นั่นคือ จะต้องพิสูจน์ว่า ถ้า a เป็นจำนวนคู่แล้ว a² เป็นจำนวนคู่

กำหนด a เป็นจำนวนเต็มใด ๆ

ให้ a เป็นจำนวนคู่ จะได้ว่า a = 2n ; ∃n ∈ 𝐼

พิจารณา a² = (2n)²

= 4n²

= 2 (2n²)

เพราะว่า n ∈ 𝐼 ดังนั้น 2n² ∈ 𝐼 ทำให้ a² เป็นจำนวนคู่

นั่นคือ ถ้า a เป็นจำนวนคู่แล้ว a² เป็นจำนวนคู่

สรุปได้ว่า ถ้า a² เป็นจำนวนคี่ แล้ว a เป็นจำนวนคี่ เป็นจริง

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ a เป็นจำนวนเต็มใด ๆ ถ้า 4|a² แล้ว a เป็นจำนวนคู่

พิสูจน์ จะต้องพิสูจน์ว่า ถ้า 4|a² แล้ว a เป็นจำนวนคู่

พิสูจน์โดยการแย้งสลับที่ นั่นคือ จะต้องพิสูจน์ว่า ถ้า a เป็นจำนวนคี่ แล้ว 4 หาร a² ไม่ลงตัว

กำหนด a เป็นจำนวนเต็มใด ๆ

ให้ a เป็นจำนวนเต็มคี่ จะได้ว่า a = 2n + 1 ; ∃n ∈ 𝐼

พิจารณา a² = (2n+1)²

= 4n²+4n + 1

= 4(n²+n) + 1

เนื่องจาก n ∈ 𝐼 ดังนั้น n²+ n ∈ 𝐼 ทำให้ 4 หาร a² ไม่ลงตัว

แสดงว่า ถ้า a เป็นจำนวนคี่ แล้ว 4 หาร a² ไม่ลงตัว

สรุปได้ว่า ถ้า 4 | a² แล้ว a เป็นจำนวนคู่ เป็นจริง

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มใด ๆ จงพิสูจน์ว่า ab เป็นจำนวนคู่ แล้ว a หรือ b เป็นจำนวนคู่

พิสูจน์ ให้ p แทนข้อความ ab เป็นจำนวนคู่

q แทนข้อความ a หรือ b เป็นจำนวนคู่

ดังนั้นประพจน์ที่แทนข้อความที่กำหนดให้ คือ p --> q ซึ่งสมมูลกับ ~q --> ~p

นั่นคือ จะต้องพิสูจน์ว่า ถ้า a และ b เป็นจำนวนคี่ แล้ว ab เป็นจำนวนคี่

กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มใด ๆ

ให้ a และ b เป็นจำนวนคี่ จะได้ว่า a = 2n + 1 ; ∃n ∈ 𝐼 และ b = 2m + 1 ; ∃m ∈ 𝐼

พิจารณา ab = (2n+1)(2m+1)

= 4nm + 2n + 2m + 1

= 2(2nm+n+m)+1

เพราะว่า n,m ∈ 𝐼 ดังนั้น (2nm + n + m) ∈ 𝐼 ทำให้ ab เป็นจำนวนคี่

นั่นคือ ถ้า a และ b เป็นจำนวนคี่ แล้ว ab เป็นจำนวนคี่

สรุปได้ว่า ถ้า ab เป็นจำนวนคู่ แล้ว a หรือ b เป็นจำนวนคู่ เป็นจริง

แบบทดสอบ

จงบอกแนวการพิสูจน์ เมื่อ กำหนดให้ x เป็นจำนวนเต็มใด ๆ จงพิสูจน์ว่า ถ้า x² เป็นจำนวนคู่ แล้ว x เป็นจำนวนคู่

Sol…………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………...

เฉลยแบบทดสอบ

พิสูจน์

ให้ x เป็นจำนวนเต็ม ที่ไม่เป็นจำนวนเต็มคู่

ดังนั้น x เป็นจำนวนเต็มคี่

x = 2n +1 สำหรับจำนวน เต็ม n บางจำนวน

x² = x×x

= (2n+1) (2n+1)

= (2n+1)2n+ (2n+1)1

= (2n)(2n)+(2n)(1)+ (2n)(1) +(1)(1)

= 4n² + 4n + 1

= 2(2n² + 2n )+ 1

= 2m + 1 (m = 2n² + 2n ซึ่งเป็นจำนวนเต็มโดยสมบัติปิด)

เพราะฉะนั้น x²เป็นจำนวนเต็มคี่

ดังนั้นจากการพิสูจน์โดยการแย้งสลับที่สรุปได้ว่า ถ้า x²เป็นจำนวนเต็มคู่ แล้ว x เป็นจำนวนเต็มคู่

แบบที่ 3 การพิสูจน์ (If and only if)

สาระสำคัญ

จาก ดังนั้นในการพิสูจน์ มีรูปแบบดังนี้

1) เป็นจริง และ

2) เป็นจริง

สรุปได้ว่า เป็นจริง

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ a เป็นจำนวนเต็ม จงพิสูจน์ว่า a เป็นจำนวนคี่ ก็ต่อเมื่อ a+1 เป็นจำนวนคู่ พิสูจน์ ตอนที่ 1 จะต้องพิสูจน์ว่า ถ้า a เป็นจำนวนคี่ แล้ว a+1 เป็นจำนวนคู่

ให้ a เป็นจำนวนคี่ จะได้ว่า a = 2m + 1 ;∃𝑚 ∈ 𝐼

พิจารณา a+1 = (2m+1)+1

= 2(m+1)

เพราะว่า 𝑚 ∈ 𝐼 ดังนั้น m + 1 ∈ 𝐼 ทำให้ a+1 เป็นจำนวนคู่

ดังนั้น ถ้า a เป็นจำนวนคี่ แล้ว a+1 เป็นจำนวนคู่

ตอนที่ 2 จะต้องพิสูจน์ว่า ถ้า a+1 เป็นจำนวนคู่แล้ว a เป็นจำนวนคี่

ให้ a+1 เป็นจำนวนคู่ จะได้ว่า a + 1 = 2m ;∃𝑚∈𝐼

พิจารณา a = (a + 1) – 1

= 2m - 1

= 2(m - 1) + 1

เพราะว่า 𝑚∈𝐼 และ m – 1 = m + (-1) ∈𝐼 ทำให้ a เป็นจำนวนคี่

ดังนั้น ถ้า a+1 เป็นจำนวนคู่แล้ว a เป็นจำนวนคี่

จากตอนที่ 1 และตอนที่ 2 สรุปได้ว่า a เป็นจำนวนคี่ ก็ต่อเมื่อ a+1เป็นจำนวนคู่

แบบทดสอบ

จงแยกข้อความ (If and only if) เป็นสองตอน กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม จงพิสูจน์ว่า a เป็นจำนวนคู่ ก็ต่อเมื่อ a+2 เป็นจำนวนคู่

Sol………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เฉลยแบบทดสอบ

กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม

ตอนที่ 1 จงพิสูจน์ว่า a เป็นจำนวนคู่ก็ต่อเมื่อ a+2 เป็นจำนวนคู่

ตอนที่ 2

แบบที่ 4 การพิสูจน์โดยแจงกรณี (Proof by Exhaustion)

สาระสำคัญ

การพิสูจน์ว่า เป็นจริง ก็คือการพิสูจน์ว่า เป็นจริงนั่นเอง

การพิสูจน์แบบนี้จะแยกสิ่งที่พิสูจน์ออกเป็นกรณีย่อยๆ แล้วพิสูจน์แต่ละกรณีย่อยๆ นั้น

ในกรณีที่ p คือ การพิสูจน์ จะต้องแยกการพิสูจน์เป็น n กรณี คือ p₁ q , p₂ q ,…, p_n q

การพิสูจน์วิธีนี้มีรูปแบบหรือโครงสร้างหลักดังนี้

รูปแบบ กรณีที่ 1 พิสูจน์ 1 p₁ q

กรณีที่ 2 พิสูจน์ 2 p₂ q

กรณีที่ n พิสูจน์ p_n q

สรุปได้ว่า

ตัวอย่างที่ 1 จงพิสูจน์ว่า ถ้า a เป็นจำนวนเต็มแล้ว a² - a เป็นจำนวนคู่

พิสูจน์ กำหนด a เป็นจำนวนเต็มใดๆ จะได้ว่า a เป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่

ดังนั้น ในการพิสูจน์ว่า ถ้า a เป็นจำนวนเต็ม แล้ว a² - a เป็นจำนวนคู่

ต้องพิสูจน์ 2 กรณี คือ

กรณีที่ 1 พิสูจน์ว่า ถ้า a เป็นจำนวนคู่ แล้ว a² - a เป็นจำนวนคู่ และ

กรณีที่ 2 พิสูจน์ว่า ถ้า a เป็นจำนวนคี่ แล้ว a² - a เป็นจำนวนคู่

รายละเอียดการพิสูจน์ของทั้งสองกรณีเป็นดังนี้

กรณีที่ 1 ให้ a เป็นจำนวนคู่ จะได้ a=2n ;∃𝑛∈𝐼

พิจารณา a² - a = (2n)² – 2n

= 4n² – 2n

= 2(2n²-n)

เพราะว่า 𝑛∈𝐼 ดังนั้น (2n²-n) ∈𝐼 ทำให้ a² - a เป็นจำนวนคู่

ดังนั้น ถ้า a เป็นจำนวนคู่ แล้ว a² - a เป็นจำนวนคู่

กรณีที่ 2 ให้ a เป็นจำนวนคี่ จะได้ a = 2n+1; ∃𝑛∈𝐼

พิจารณา a²- a = (2n+1)² – (2n+1)

= (4n²+4n+1) - 2n-1

= 4n² + 2n

= 2(2n²+n)

เพราะว่า 𝑛∈𝐼 ดังนั้น (2n²+n) ∈𝐼 ทำให้ a² - a เป็นจำนวนคู่

ดังนั้น ถ้า a เป็นจำนวนคี่ แล้ว a² - a เป็นจำนวนคู่

จากกรณีที่ 1 และ กรณีที่ 2 สรุปได้ว่า ถ้า a เป็นจำนวนเต็ม แล้ว a² - a เป็นจำนวนคู่

ตัวอย่างที่ 2 จงพิสูจน์ว่า ถ้า a เป็นจำนวนเต็ม แล้ว 3a+a² เป็นจำนวนคู่

พิสูจน์ กำหนด a เป็นจำนวนเต็มใดๆ จะได้ว่า a เป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่

ดังนั้น ในการพิสูจน์ว่า ถ้า a เป็นจำนวนเต็ม แล้ว a²-a เป็นจำนวนคู่

ต้องพิสูจน์ 2 กรณี คือ

กรณีที่ 1 ให้ a เป็นจำนวนคู่ จะได้ a=2n ; ∃𝑛∈𝐼

พิจารณา 3a+a² = 3(2n) + (2n)²

= 6n + 4n²

= 2(3n + 2n)²

เพราะว่า 𝑛∈𝐼 ดังนั้น (3n + 2n²) ∈ 𝐼 ทำให้ 3a+a² เป็นจำนวนคู่

ดังนั้น ถ้า a เป็นจำนวนคู่ แล้ว 3a+a² เป็นจำนวนคู่

กรณีที่ 2 ให้ a เป็นจำนวนคี่ จะได้ a=2n+1; ∃𝑛∈𝐼

พิจารณา 3a+a² = 3(2n+1) + (2n+1)²

= (6n+3) + (4n²+4n+1)

= 4n²+10n+4

= 2(2n²+5n+2)

เพราะว่า 𝑛∈𝐼 ดังนั้น (3n²+ 5n + 2) ∈𝐼 ทำให้ 3a+a² เป็นจำนวนคู่

ดังนั้น ถ้า a เป็นจำนวนคี่ แล้ว 3a+a² เป็นจำนวนคู่

จากกรณีที่ 1 และกรณีที่ 2 สรุปได้ว่า ถ้า a เป็นจำนวนเต็ม แล้ว 3a+a² เป็นจำนวนคู่

แบบทดสอบ

จงพิสูจน์ สำหรับจำนวนจริง x ใดๆ ค่าสัมบูรณ์ ของ x เขียนแทนด้วย นิยามโดย

จงพิสูจน์ว่า =

เฉลยแบบทดสอบ

พิสูจน์ จากนิยามที่กำหนดให้ จะแบ่งการพิสูจน์ออกเป็น 3 กรณี ดังนี้

กรณีที่ 1 ถ้า x > 0 แล้ว =

กรณีที่ 2 ถ้า x = 0 แล้ว =

กรณีที่ 3 ถ้า x < 0 แล้ว =

รายละเอียดการพิสูจน์ของทั้งสามกรณีเป็นดังนี้

กรณีที่ 1 ให้ x > 0 นั่นคือ –x < 0

เมื่อ x > 0 จากบทนิยาม จะได้ = x

เมื่อ –x < 0 จากบทนิยาม จะได้ = -(-x) = x

ดังนั้น =

กรณีที่ 2 ให้ x = 0 นั่นคือ –x = 0

ดังนั้น =

กรณีที่ 3 ให้ x < 0 นั่นคือ –x > 0

เมื่อ x < 0 จากบทนิยาม จะได้ = -x

เมื่อ –x > 0 จากบทนิยาม จะได้ = -x

ดังนั้น =

จากทั้งสามกรณี สรุปได้ว่า =

แบบที่ 5 การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง (Proof by Contradiction)

สาระสำคัญ

การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้งของประพจน์ p มีวิธีการพิสูจน์โดยสมมติว่า เป็นจริง และเป็นผลให้เกิดประพจน์ โดยที่ r คือประพจน์ที่ได้จาก สัจพจน์ หรือทฤษฎีที่ได้พิสูจน์มาแล้ว การพิสูจน์แบบนี้ได้จาก Tautology คือ

การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้งของประพจน์ มีวิธีการพิสูจน์โดยสมมติ หรือ เป็นจริง นี่คือ สมมติว่า p เป็นจริง และ จริง แล้วหาข้อขัดแย้ง

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ x เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้า แล้ว x = 3

พิสูจน์ กำหนด x เป็นจำนวนจริงใดๆ

สมมติให้ แต่ x 3

พิจารณา x² = 2x + 3

X² – 2x -3 = 0

(x - 3)(x + 1)= 0

จึงได้ว่า x = 3 หรือ x = -1

จากสมมติฐาน x 3 จึงได้ว่า x = -1

ดังนั้น -1 = = = = 1ซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง

ดังนั้นที่สมมติว่า x 3 ไม่เป็นจริง จึงสรุปได้ว่า ถ้า แล้ว x = 3

แบบทดสอบ

กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้า แล้ว x = 4

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เฉลยแบบทดสอบ

พิสูจน์ กำหนด a เป็นจำนวนจริงใดๆ

สมมติให้ แต่ x 4

พิจารณา a² = 3a + 4

a² – 3x -4 = 0

(x - 4)(x + 1)= 0

จึงได้ว่า x = 4 หรือ x = -1

จากสมมติฐาน x 4 จึงได้ว่า x = -1

ดังนั้น -1 = = = = 1ซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง

ดังนั้นที่สมมติว่า x 3 ไม่เป็นจริง จึงสรุปได้ว่า ถ้า แล้ว x = 4

แบบที่ 6 การพิสูจน์

สาระสำคัญ

เพราะว่า pÚq º ~p®q ดังนั้นเราจึงพิสูจน์ ~p®q แทน pÚq ได้

เนื่องจาก pÚq º qÚp ดังนั้น เราจึงพิสูจน์ ~p®q แทน qÚp ได้

ในการพิสูจน์ pÚq เราสามารถเลือกประพจน์ย่อย ~p หรือ ~q เป็นจุดเริ่มต้นในการพิสูจน์เพื่อนำไปสู่ q หรือ p ตามลำดับ

การพิสูจน์วิธีนี้มีรูปแบบหรือโครงสร้างหลักดังนี้

รูปแบบ สมมติ ~p หรือ สมมติ ~q

M M

ดังนั้น q ดังนั้น p

นั่นคือ ~p®q หรือ ~q ® p ดังนั้น จึงสรุปได้ว่า pÚq

ตัวอย่างที่ 1 จงพิสูจน์ว่า ถ้าผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนเป็นจำนวนคู่แล้ว จำนวนใดจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนคู่

พิสูจน์ กำหนด m และ n เป็นจำนวนเต็มใดๆ

ให้ mn เป็นจำนวนคู่ จะได้ว่า mn = 2k : $k Î I

สมมติว่า m ไม่เป็นจำนวนคู่ จะได้ว่า m = 2q + 1 : $q Î I

พิจารณา 2k =mn

= (2q + 1)n

= 2qn + n

ดังนั้น n = 2k – 2qn

= 2(k – q n )

เพราะว่า k , q , n Î I ดังนั้น (k - qn) Î I ซึ่งทำให้ n เป็นจำนวนคู่

สรุปได้ว่า สำหรับจำนวนเต็ม m และ n ใดๆ ถ้า mn เป็นจำนวนคู่ แล้ว m เป็นจำนวนคู่ หรือ n เป็นจำนวนคู่ เป็นจริง

แบบทดสอบ

จงพิสูจน์ ข้อความที่กำหนดให้

สำหรับจำนวนเต็มบวก m และ n ใดๆ ถ้า n³ –n <m แล้ว n เป็นจำนวนคี่ หรือ m > 6

เฉลยแบบทดสอบ

พิสูจน์    กำหนด m และ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ
       ให้ n³ –n <m
              สมมติว่า n ไม่เป็นจำนวนคี่ จะได้ว่า n=2k:
              เนื่องจาก n เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น k > 0 หรือ k 1และได้ว่า k² 1 ด้วย
             พิจารณา                m > n³ - n
                                              = (2k)³ - (2k)
                                              = (8k² -2)k
                                                 8k² -2 (เพราะว่า k 1 )
                                              8 -2 (เพราะว่า k² 1)
                                              = 6
               สรุปได้ว่า ถ้า n³ – n < m แล้ว n เป็นจำนวนคี่ หรือ m > 6 เป็นจริง

แบบที่ 7 การพิสูจน์

สาระสำคัญ

เนื่องจาก ดังนั้น เมื่อต้องการพิสูจน์ว่า เป็นจริง ทำได้โดย สมมติ p เป็นจริง แสดงให้ได้ว่า q เป็นจริง และ r เป็นจริง

การพิสูจน์วิธีนี้มีรูปแบบหรือโครงสร้างหลักดังนี้

รูปแบบ สมมติ p

ดังนั้น q

ดังนั้น r

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า

ตัวอย่างที่ 1 สำหรับจำนวนเต็ม a ใดๆ จะได้ว่า a²-a เป็นจำนวนคู่ และ a²+a+3 เป็นจำนวนคี่

พิสูจน์ กำหนด a เป็นจำนวนเต็มใดๆ

จะพิสูจน์โดยแจงกรณี แบ่งเป็น 2 กรณี คือ a เป็นจำนวนคู่ หรือ a เป็นจำนวนคี่

กรณีที่ 1 ให้ a เป็นจำนวนคู่ จะได้ว่า a = 2n : $n Î I

พิจารณา a²- a = (2n)²- (2n)

= 4n² – 2n

= 2(n² – n)

เพราะว่า n Î I ดังนั้น (n² - n )Î I ซึ่งทำให้ a² - a เป็นจำนวนคู่

พิจารณา a² + a + 3 = (2n)² + (2n) + 3

= 4n² + 2n + 3

= 2(2n² + n +1) + 1

เพราะว่า n Î I ดังนั้น (2n²+n+1)Î I ซึ่งทำให้ a² + a + 3 เป็นจำนวนคี่

ดังนั้น a²-a เป็นจำนวนคู่ และ a² + a + 3 เป็นจำนวนคี่

กรณีที่ 2 ให้ a เป็นจำนวนคี่ จะได้ว่า a = 2k+1 : $k Î I

พิจารณา a² - a = (2k+1)² – (2k+1)

= (4k² + 4k + 1) - 2k -1

= 4k² +2k

= 2(2k² + k )

เพราะว่า k Î I ดังนั้น (2𝑘²− k) Î I ซึ่งทำให้ a² - a เป็นจำนวนคู่

พิจารณา a² + a + 3 = (2k+1)² – (2k+1) + 3

= (4k² + 4k + 1) +( 2k +1) +3

= 4k² + 6k +5

= 2(2k² +3k + 2) + 1

เพราะว่า k Î I ดังนั้น (2𝑘²+3𝑘+2) Î I ซึ่งทำให้ a² + a + 3 เป็นจำนวนคี่

ดังนั้น a² - a เป็นจำนวนคู่ และ a² + a + 3 เป็นจำนวนคี่

จากทั้งสองกรณีสรุปได้ว่า สำหรับจำนวนเต็ม a ใดๆ จะได้ว่า a² - a เป็น จำนวนคู่ และ a² + a + 3 เป็นจำนวนคี่ เป็นจริง

แบบทดสอบ

จงพิสูจน์ ข้อความที่กำหนดให้

ถ้า a ,b และ c เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง a|b และ a|c จะได้ว่า a|(bm + cn) สำหรับจำนวนเต็ม m และ n ทุกตัว

เฉลยแบบทดสอบ

พิสูจน์       เนื่องจาก   a|b   และ a|c    จะมีจำนวนเต็ม h และ k     ซึ่ง b = ah และ c|ak
                ดังนั้นสำหรับจำนวนเต็ม m และ n ทุกตัว
                           bm + cn = (ah)m + (ak)n
                                         = a(hm) + a(kn)
                                         = a(hm + kn)
             ดังนั้น a|bm + cn

แบบที่ 8 การพิสูจน์แย้งโดยตัวอย่างค้าน (Disproof by Counterexample)

สาระสำคัญ

การพิสูจน์แย้งโดยการยกตัวอย่างค้าน เป็นการคัดค้านข้อความ “สำหรับทุกๆ สมาชิกใน เอกภพสัมพัทธ์ สอดคล้องกับลักษณะที่กำหนดให้” เป็นเท็จ มาจากกฎการนิเสธ ของข้อความที่มีวลีบ่งปริมาณ ดังนี้

ดังนั้นการพิสูจน์ว่าเป็นเท็จโดยการยกตัวอย่างค้าน เป็นการพิสูจน์ว่าข้อความ เป็นเท็จ ทำได้โดยการแสดงว่า เป็นจริง หรือแสดงว่ามีสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์อย่างน้อยหนึ่งตัวที่ทำให้ เป็นเท็จ

ตัวอย่างที่ 1 จงพิสูจน์ว่า ข้อความต่อไปนี้ เป็นเท็จ

ก สัตว์ทุกชนิดมี 4 ขา

ข ถ้า ,ab และ c เป็นจำนวนจริง และ a > b แล้ว ac > bc

ค ผลบวกของจำนวนอตรรกยะเป็นจำนวนอตรรกยะ

พิสูจน์ ก ข้อความที่ว่า “สัตว์ทุกชนิดมี 4 ขา” เป็นเท็จ เช่น ไก่เป็นสัตว์ชนิดหนึ่งแต่มี 2 ขา

ข ข้อความที่ว่า “ถ้า ab และ c เป็นจำนวนจริง และ a>b แล้ว ac>bc” เป็นเท็จ เช่น a=5 b=2 c=-1 จะได้ 5>2 เป็นจริง แต่ (5)(-1) > (2)(-1) เป็นเท็จ

ค ข้อความที่ว่า “ผลบวกของจำนวนอตรรกยะ เป็นจำนวนอตรรกยะ” เป็นเท็จ เช่น เป็นจำนวนอตรรกยะ และ เป็นจำนวนอตรรกยะ แต่ ซึ่ง "0" ไม่ใช่จำนวนอตรรกยะ

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ A = {1,2,3}และ B = {3,4,5,6} จงพิสูจน์ว่า AÌB เป็นเท็จ

พิสูจน์ จากบทนิยาม AÌB ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์

ถ้า xÎA แล้ว xÎB

1ÎA แต่ 1ÏB ดังนั้น AÌB เป็นเท็จ

แบบทดสอบ

จงพิสูจน์แย้งโดยยกตัวอย่างค้าน

จงพิสูจน์ว่า ข้อความ "ผลคูณของจำนวนอตรรกยะ เป็นจำนวนอตรรกยะ" เป็นเท็จ

เฉลยแบบทดสอบ

พิสูจน์

เนื่องจาก เป็นจำนวนอตรรกยะ

พิจารณา × = 3 ซึ่ง “3” ไม่เป็นจำนวนอตรรกยะ

สรุปได้ว่า “ผลคูณของจำนวนอตรรกยะเป็นจำนวนอตรรกยะ” จึงเป็นเท็จ

แบบที่ 9 การพิสูจน์ว่ามีและเป็นไปได้เพียงอย่างเดียว (Proof by Existence and Uniqueness)

สาระสำคัญ

การพิสูจน์ว่ามี (Existence) เป็นการพิสูจน์ข้อความที่มีวลีบ่งปริมาณในรูป x [p(x)] เป็นจริง เป็นการตรวจสอบว่า มีสมาชิก a ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ p(a) เป็นจริง ส่วนการพิสูจน์การเป็นไปได้เพียงอย่างเดียว เป็นการแสดงว่า ถ้า a และ b เป็นสมาชิกใดๆในเอกภพสัมพัทธ์ซึ่ง p(a) และ p(b) เป็นจริงแล้ว a = b

ตัวอย่างที่ 1 จงพิสูจน์ว่า มีจำนวนเต็มอย่างน้อยหนึ่งจำนวน ซึ่ง x² = x + x

พิสูจน์ โจทย์ต้องการพิสูจน์ว่า x [x เป็นจำนวนเต็มและ x² = x + x ] เป็นจริง

ให้ x = 0 ดังนั้น x เป็นจำนวนเต็ม และ x² = x + x (0² = 0 + 0) เป็นจริง

นั่นคือ x [ x เป็นจำนวนเต็มและ x² = x + x ] เป็นจริง หรือ

ให้ x = 2 ดังนั้น x เป็นจำนวนเต็ม และ x² = x + x (2² = 2 + 2) เป็นจริง

นั่นคือ มีจำนวนเต็มอย่างน้อยหนึ่งจำนวน ซึ่ง x² = x + x

ตัวอย่างที่ 2 จงพิสูจน์ว่า มีจำนวนนับ n เพียงจำนวนเดียวเท่านั้นที่ n² = 9

พิสูจน์ การพิสูจน์แยกเป็น 2 ขั้นตอนคือ

ขั้นตอนที่ 1 จะต้องพิสูจน์ว่า มีจำนวนนับ n ที่ n² = 9

เลือก n = 3 จะได้ n เป็นจำนวนนับที่ n² = (3)² = 9

ขั้นตอนที่ 2 จะต้องพิสูจน์ว่า มีจำนวนนับ n เพียงจานวนเดียวเท่านั้นที่ n² = 9

ให้ a เป็นจำนวนนับใดๆ ที่ n² = 9 จะแสดงว่า a = 3 (จากขั้นตอนที่ 1 มี n=3 แล้ว)

โดยการแก้สมการ n² = 9 จะได้ a = 3 แต่ a เป็นจำนวนนับ ดังนั้น a = 3 เท่านั้น

จากทั้งสองขั้นตอน สรุปได้ว่ามีจำนวนนับ n เพียงจานวนเดียวเท่านั้นที่ n² = 9

แบบทดสอบ

จงพิสูจน์ว่ามีและเป็นไปได้เป็นอย่างเดียว

จงพิสูจน์ว่ามีจำนวนนับ n เพียงจำนวนเดียวเท่านั้นที่ n²= 16

เฉลยแบบทดสอบ

พิสูจน์ เพราะว่ามีจำนวนนับ 4 ที่ 4² = 16

และ ถ้ามี จำนวนนับ x , y ที่ x² = 16 และ y² = 16

ดังนั้น x²= y² จะได้ x = ± y

แต่ x , y เป็นจำนวนนับ ดังนั้น x = y

สรุปได้ว่า มีจำนวนนับ n เพียงจำนวนเดียวเท่านั้นที่ n²= 16

แบบที่ 10 การพิสูจน์โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Proof by Mathematical Induction)

สาระสำคัญ

อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) คือการพิสูจน์สำหรับประโยคที่มีตัวแปรเป็นจำนวนนับ โดยการพิสูจน์อาศัยหลักที่ว่า ประโยคเริ่มต้นเป็นจริง [คือ P(1) เป็นจริง] และถ้าเราสามารถแสดงว่า การพิสูจน์ค่าความจริงของประโยค P(n+1) เกิดจากค่าความจริงของประโยค P(n) เราจะได้ว่า P(n) เป็นจริงทุกค่าของ n

หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n ให้ P(n) แทนข้อความที่เกี่ยวข้องกับ n

ถ้า 1) P(1) เป็นจริง

และ 2) สำหรับจำนวนเต็มบวก k ใดๆ ถ้า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k+1) เป็นจริงด้วย

จะสรุปได้ว่า P(n) เป็นจริง สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n

เราลองเปรียบเทียบการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ กับการล้มของโดมิโน
ถ้าเราเอาโดมิโนมาตั้งเรียงเป็นแถวยาว แล้วเรารู้ว่า

1. โดมิโนตัวแรกล้ม

2. ไม่ว่า k จะเป็นอะไรก็ตาม ถ้าโดมิโนตัวที่ k ล้มแล้วโดมิโนตัวที่ k+1 ล้มด้วย เราก็จะรู้ว่า ตัวที่ 1 ล้มทำให้ตัวที่ 2 ล้ม ตัวที่ 2 ล้มทำให้ตัวที่ 3 ล้ม ตัวที่ 3 ล้มทำให้ตัวที่ 4 ล้ม ไปเรื่อยๆจนหมดแถว เราก็จะสรุปได้ว่าโดมิโนล้มทุกตัว

ทีนี้ลองมาดูการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์บ้าง เราจะพิสูจน์ว่า P(n) [ประพจน์ในตัวแปร n] เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ n

1. เราก็ต้องบอกว่าตัวแรกจริงก่อน ก็คือบอกว่า P(1) เป็นจริง [เหมือนเอา 1 ไปแทนที่ n]

2. สำหรับทุกๆ k ถ้าตัวที่ k จริงแล้วตัวที่ k+1 จริงด้วย ก็คือบอกว่า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k+1) จริงด้วย

ถ้าเราได้สองข้อนี้ก็จะสรุปได้ว่า P(n) จริงสำหรับทุกจำนวนนับ n

ตัวอย่างที่ 1 จงพิสูจน์ว่า 1+3+5+7+…+(2n –1) = n² สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n

วิธีทำ ให้ P(n) แทนข้อความ 1+3+5+7+…+(2n – 1) = n² ……… (1)

1. จะพิสูจน์ P(1) เป็นจริง

เมื่อ n = 1 จะได้ว่า

ทางซ้ายมือของสมการ (1) คือ 1

ทางขวามือของสมการ (1) คือ 1² = 1

ดังนั้น P(1) เป็นจริง

2. จะพิสูจน์ว่า ถ้า P(k) เป็นจริง แล้ว P(k+1) เป็นจริงด้วย

สมมติว่า p(k) เป็นจริง

นั่นคือ 1+3+5+…+(2k –1) = k² ……… (2)

จะพิสูจน์ว่า P(k+1) เป็นจริงด้วย กล่าวคือ จะพิสูจน์ว่า

1+3+5+…+[2(k + 1) – 1] = (k + 1)² ……… (3)

พิจารณาทางซ้ายมือของสมการ (3) จะได้ว่า

1+3+5+…+[2(k + 1) – 1] = 1+3+5+…+(2k – 1) + [2(k + 1) – 1]

= k² + [2(k + 1) – 1]

= k² + 2k + 1

= (k + 1)²

ดังนั้น P(k + 1) เป็นจริง

เพราะฉะนั้น โดยหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ จะได้ว่า P(n) เป็นจริง สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n

ตัวอย่างที่2 จงพิสูจน์ว่า n³ – n หารด้วย 3 ลงตัว สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n
วิธีทำ ให้ P(n) แทนข้อความ n³ - n หารด้วย 3 ลงตัว

1. จะแสดงว่า P(1) เป็นจริง
เมื่อ n = 1 จะได้ 1³ – 1 = 0 ซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น P(1) เป็นจริง

2. จะแสดงว่า ถ้า P(k) เป็นจริง แล้ว p(k+1) เป็นจริงด้วย
สมมติว่า ถ้า P(k) เป็นจริง นั่นคือ k³ - k หารด้วย 3 ลงตัว
จะพิสูจน์ว่า P(k + 1) เป็นจริง กล่าวคือ
จะพิสูจน์ว่า (k + 1)³ – (k + 1) หารด้วย 3 ลงตัว
เนื่องจาก k³ - k หารด้วย 3 ลงตัว
ดังนั้น ให้ k³ – k = 3a เมื่อ a เป็นจำนวนเต็ม
เพราะว่า (k + 1)³ – (k + 1) = (k³ + 3k² + 3k +1) – (k + 1)                                   = k³ + 3k² + 2k
                                   = k³ –k + 3k² + 3k
                                   = (k³ – k) + 3(k² + k)
                                   = 3a + 3(k² + k)
                                   = 3(a + k² + k)
เนื่องจาก a + k² + k เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า (k + 1)³ – (k + 1) หารด้วย 3 ลงตัว

ดังนั้น P(k + 1) เป็นจริง

แบบทดสอบ

จงพิสูจน์โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

n(n² + 2) หารด้วย 3 ลงตัว สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n

Sol………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เฉลยแบบทดสอบ

พิสูจน์ ให้ P(n ) แทนข้อความ n(n² + 2) หารด้วย 3 ลงตัว

1) ถ้า n=1 แล้ว P(1) แทนข้อความ 1(1² + 2) = 3

หารด้วย 3 ลงตัว ซึ่งเป็นจริง ดังนั้น P(1) เป็นจริง

2) ให้ k เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ

ให้ p(k) เป็นจริง นั่นคือ k(k² + 2) หารด้วย 3 ลงตัว ………(1)

จะต้องพิสูจน์ว่า p(k+1) เป็นจริง นั้นคือพิสูจน์ว่า

(K + 1) [(k + 1)² + 2] หารด้วย 3 ลงตัว

จาก(1) ได้ว่า k(k² + 2) หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น

k(k² + 2) = 3t ; $tÎ I ……….(2)

พิจารณา (K + 1) [(k + 1)² + 2] = (K + 1) (k² + 2k + 3)

= (k³ + 2k² +3k) + (k² + 2k + 3)

= k(k² + 2) + 3(k² + k + 1)

= 3t + 3(k² + k + 1) จากสมการ (2)

= 3(t + k² + k + 1 )

เพราะว่า t,k Î I ดังนั้น (t + k² + k + 1 ) Î I ซึ่งทำให้ 3 หาร (k + 1) [(k + 1)² + 2] ลงตัว ดังนั้น p(k+1) เป็นจริง

นั่น คือ ถ้า p(k) เป็นจริง แล้ว p(k+1) เป็นจริง

โดยหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ สรุปได้ว่า หารด้วย 3 ลงตัว สำหรับทุกๆจำนวนเต็มบวก n

ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง

ทฤษฎีจำนวนคู่ จำนวนคี่

จำนวนคู่คือ จำนวนเต็มที่สามารถเขียนอยู่ในรูป 2n โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม

จำนวนคี่คือ จำนวนเต็มที่สามารถเขียนอยู่ในรูป 2n + 1 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม

ทฤษฎีการหารลงตัว

จำนวนเต็ม b ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์จะหารจำนวนเต็ม a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม c ซึ่ง a = bc

ค่าสัมบูรณ์

บทนิยาม กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริง

	นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ

• สมบัติของค่าสัมบูรณ์
	1. \|x\| = \|-x\|
	2. \|xy\| = \|x\|\|y\|
	3. =
	4. \| x - y \| = \| y - x \|
	5. \|x\|² = x²
	6. \| x + y \| ≤ \|x\| +\|y\|
	7. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก
	\|x\| < a หมายถึง -a < x < a
	\|x\| ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a
	8. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก
	\|x\| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a
	\|x\| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a

5 ความคิดเห็น:

Ribbons29 พฤษภาคม 2556 เวลา 22:24
เจ๋งมากๆๆๆครับ
ตอบลบ
คำตอบ
Unknown17 กันยายน 2556 เวลา 23:41
ขอบคุณมากๆค่ะ สรุปเข้าจง่าย มีเเบบทดสอบให้ลองทำ เยี่ยมฝุดๆ
ตอบลบ
คำตอบ
Unknown9 สิงหาคม 2559 เวลา 19:25
ข้อมูลบางส่วนหายไปเลยไม่รู้ว่า อะไรหายไป รบกวนช่วยแก้ไขให้สมบูรณ์หน่อยครับ
ตอบลบ
คำตอบ
Unknown27 มกราคม 2564 เวลา 07:48
ชอบมากครับ
ตอบลบ
คำตอบ
najibwaggett3 มีนาคม 2565 เวลา 22:39
MGM Grand in Las Vegas: Review, Opening & Closing Hours
MGM Grand Hotel & Casino. Located on the Strip, a lively spa and an elegant 밀양 출장마사지 casino-themed 대전광역 출장안마 resort, MGM Grand Las 수원 출장마사지 Vegas 경주 출장안마 is home 세종특별자치 출장샵 to an
ตอบลบ
คำตอบ

บทนิยาม กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริง

	นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ

• สมบัติของค่าสัมบูรณ์
	1. \|x\| = \|-x\|
	2. \|xy\| = \|x\|\|y\|
	3. =
	4. \| x - y \| = \| y - x \|
	5. \|x\|² = x²
	6. \| x + y \| ≤ \|x\| +\|y\|
	7. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก
	\|x\| < a หมายถึง -a < x < a
	\|x\| ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a
	8. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก
	\|x\| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a
	\|x\| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a

Methods of Proof

วันอังคารที่ 20 กันยายน พ.ศ. 2554

วิธีพิสจน์ทางคณิตศาสตร์

พิสูจน์

5 ความคิดเห็น: